В параллелограмме ABCD выбрали произвольную точку S. Докажите, что сумма площадей треугольников BSC и ASD равна половине площади параллелограмма.

В таком виде утверждение неверно: точка S может находиться вне параллелограмма. Например, возьмём квадрат ABCD со стороной 1 и точку S на продолжении стороны AD за точку D так, чтобы расстояние от S до прямой BC было 3. Тогда площадь треугольника BSC равна 3/2, а площадь ASD равна 1/2; их сумма равна 2, тогда как половина площади квадрата равна 1/2.

Если подразумевается, что S находится внутри параллелограмма, утверждение верно. Пусть h — расстояние между прямыми AD и BC, а x и h − x — расстояния от S до этих прямых. Поскольку AD = BC, получаем: площадь BSC = BC · x / 2, площадь ASD = AD · (h − x) / 2. Их сумма равна AD · h / 2, то есть половине площади параллелограмма. В условии, вероятно, не указано ограничение, что S лежит внутри параллелограмма.