6. В параллелограмме АВСD биссектриса угла 4, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и ДМ перпендику- лярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 7. Запишите решение и ответ.

В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найти периметр параллелограмма, если AB = 7.

1. ∠BAD = 60°, значит ∠BAM = ∠MAD = 30° (AM - биссектриса).

2. ∠AMD = 90° (AM ⊥ DM).

3. ∠B + ∠BAD = 180° (сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма), значит ∠B = 180° - 60° = 120°.

4. Рассмотрим треугольник ABM. ∠BAM = 30°, ∠B = 120°, тогда ∠AMB = 180° - 120° - 30° = 30°.

5. Следовательно, треугольник ABM - равнобедренный (∠BAM = ∠AMB), значит AB = BM = 7.

6. Рассмотрим треугольник AMD. ∠MAD = 30°, ∠AMD = 90°, тогда ∠MDA = 180° - 90° - 30° = 60°.

7. ∠ADC = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°. Тогда ∠MDC = ∠ADC - ∠MDA = 120° - 60° = 60°.

8. Рассмотрим треугольник MDC. ∠MDC = 60°, ∠DMC = 180° - ∠MDA - ∠AMB = 180° - 60° - 30° = 90°, тогда ∠MCD = 180° - 90° - 60° = 30°.

9. Так как BC || AD, то ∠MAD = ∠BMA = 30° (накрест лежащие углы). Значит, треугольник ABM равнобедренный и AB = BM = 7.

10. MD - биссектриса ∠ADC, следовательно, ∠ADM = ∠MDC = 60°.

11. Рассмотрим треугольник MDC. ∠MCD = 180° - ∠DMC - ∠MDC = 180° - 90° - 60° = 30°.

12. Следовательно, ∠MCD = ∠MDA, значит, треугольник CDM - равнобедренный и MD = MC.

13. Рассмотрим треугольник CDM. ∠DMC = 90°, ∠MCD = 30°, CD - гипотенуза. Тогда MC = CD / 2. Так как MD = MC, то CD = 2 * MD.

14. В треугольнике AMD: \\$$\frac{MD}{AD} = \cos(\angle ADM)$$\\$$\frac{MD}{AD} = \cos(60^{\circ})$$\\$$\frac{MD}{AD} = \frac{1}{2}$$\\$$AD = 2 \cdot MD$$

15. AD = BC = BM + MC, значит, AD = 7 + MD. Тогда 2 * MD = 7 + MD, MD = 7.

16. AD = 2 * MD = 2 * 7 = 14. Тогда CD = 2 * MD = 2 * 7 = 14.

17. Периметр параллелограмма: P = 2 * (AB + AD) = 2 * (7 + 14) = 2 * 21 = 42.

Ответ: 42.