В параллелограмме BCDE биссектриса угла E пересекает сторону BC в точке H, причём BH = 9, CH = 8. Найдите периметр параллелограмма.

Так как EH — биссектриса угла E, расстояния от точки H до прямых, содержащих стороны ED и EB, равны. Прямые ED и BC параллельны, поэтому расстояние от H до ED равно высоте параллелограмма к основанию BC.

Обозначим через K основание перпендикуляра из H на EB. Тогда прямоугольные треугольники EHB и EHK имеют общий гипотенузу EH и равные острые углы при E, поэтому они равны. Следовательно, BH = BK и EB = EK + BK = EH.

Из равенства расстояний от H до ED и EB следует, что высота параллелограмма равна расстоянию от H до EB. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой EB это расстояние и сторона BH дают соотношение, а поскольку EH = EB, получаем BH = EB. Значит, EB = 9.

Сторона BC = BH + HC = 9 + 8 = 17. Периметр параллелограмма:

\(P = 2(EB + BC) = 2(9 + 17) = 52.\)

Ответ: 52.