В параллелограмме биссектриса острого угла, равного 60°, делит сторону параллелограмма на отрезки 25 см и 15 см, считая от вершины тупого угла. Найдите биссектрису и меньшую диагональ параллелограмма.

Обозначим параллелограмм ABCD так, чтобы острый угол был при A, а биссектриса угла A пересекала сторону CD в точке E. Пусть AB = CD = a, AD = BC = b. Поскольку E лежит на CD, её расстояние от вершины тупого угла D равно DE; по условию DE = 25 см, а EC = 15 см. Тогда a = CD = 40 см.

Так как AE — биссектриса угла A, угол DAE равен 30°. В треугольнике ADE углы при D и A равны 30°, поэтому противолежащие им стороны равны: DE = AE = 25 см. Следовательно, биссектриса равна 25 см.

В прямоугольном треугольнике, полученном опусканием перпендикуляра из D на AB, проекция AD на AB равна AD · cos 60° = b/2. Из треугольника ADE: DE = AD · sin 60°, поэтому b = 2DE/√3 = 50/√3 см.

Квадраты диагоналей параллелограмма равны a² + b² ± 2ab cos 60°. Меньшей соответствует знак минус:

\[d^2=40^2+\left(\frac{50}{\sqrt3}\right)^2-2\cdot40\cdot\frac{50}{\sqrt3}\cdot\frac12=\frac{7300-2000\sqrt3}{3}.\]

Значит, \(d=\sqrt{(7300-2000\sqrt3)/3}\approx36.1\) см.

Ответ: биссектриса — 25 см; меньшая диагональ — \(\sqrt{(7300-2000\sqrt3)/3}\) см (примерно 36,1 см).