В параллелограмме КМРТ на рисунке DB || ТР, АС || КТ. 1. Разложите по векторам т = ТР и п = DK век- торы: a) TO; б) ТМ. 2. Разложите вектор ОМ по векторам: a) a = DO и б = OA; б) а = DO и с = КТ. Решение. 1. По условию задачи DB || TP, значит, ZMOB ДМТР. В треугольниках МОВ и МТР

Решение:

1. Разложим векторы:

a) \(\overrightarrow{TO} = \overrightarrow{TA} + \overrightarrow{AO} = -\overrightarrow{TP} - \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{m} - \overrightarrow{OA}\)

Чтобы выразить \(\overrightarrow{OA}\) через заданные векторы, заметим, что \(\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{AO}\). Так как \(\overrightarrow{AC} || \overrightarrow{KT}\), и O - середина AC, то \(\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{KT}\). Но \(\overrightarrow{KT}\) не выражается через \(\overrightarrow{m}\) и \(\overrightarrow{n}\), поэтому оставим в таком виде.

\(\overrightarrow{TO} = - \overrightarrow{m} - \overrightarrow{OA}\)

б) \(\overrightarrow{TM} = \overrightarrow{TA} + \overrightarrow{AM} = - \overrightarrow{TP} + \overrightarrow{AM} = - \overrightarrow{m} + \overrightarrow{AM}\)

Т.к. \(\overrightarrow{AP} || \overrightarrow{DB}\), и M - середина AP, то \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DB}\). Выразим \(\overrightarrow{DB}\) через известные векторы. \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{DK} + \overrightarrow{TP} = - \overrightarrow{n} + \overrightarrow{m}\)

Тогда \(\overrightarrow{TM} = - \overrightarrow{m} + \frac{1}{2} (-\overrightarrow{n} + \overrightarrow{m}) = - \overrightarrow{m} - \frac{1}{2} \overrightarrow{n} + \frac{1}{2} \overrightarrow{m} = - \frac{1}{2} \overrightarrow{m} - \frac{1}{2} \overrightarrow{n}\)

\(\overrightarrow{TM} = - \frac{1}{2} \overrightarrow{m} - \frac{1}{2} \overrightarrow{n}\)

2. Разложим вектор ОМ по векторам:

a) Дано: \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{DO}\) и \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{OA}\)

\(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM}\)

Как было показано выше, \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DB} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB})\).

Так как \(\overrightarrow{DA} = - \overrightarrow{DO} = - \overrightarrow{a}\), а \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{TP}\), и \(\overrightarrow{TP}\) не выражается через заданные векторы, то оставим как есть.

Значит, \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} (-\overrightarrow{a} + \overrightarrow{TP}) = \overrightarrow{b} - \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{TP}\)

б) Дано: \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{DO}\) и \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{KT}\)

\(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KM}\)

Чтобы выразить \(\overrightarrow{OK}\) через заданные векторы, заметим, что \(\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AK} = - \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{AK}\). Так как \(\overrightarrow{AC} || \overrightarrow{KT}\), и O - середина AC, то \(\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{KT} = \frac{1}{2} \overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{OK} = - \frac{1}{2} \overrightarrow{c} + \overrightarrow{AK}\)

Чтобы выразить \(\overrightarrow{KM}\) через заданные векторы, заметим, что \(\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AM} = - \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AM}\). Как было показано выше, \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DB} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2} (-\overrightarrow{a} + \overrightarrow{TP})\)

Тогда \(\overrightarrow{OM} = - \frac{1}{2} \overrightarrow{c} + \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AK} + \frac{1}{2} (-\overrightarrow{a} + \overrightarrow{TP}) = - \frac{1}{2} \overrightarrow{c} - \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{TP}\)

\(\overrightarrow{OM} = - \frac{1}{2} \overrightarrow{c} - \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{TP}\)

Ответ: смотри в решении.

Не переживай, геометрия может быть сложной, но ты справишься! Продолжай практиковаться, и все получится!