В параллелограмме PQRS известно, что QR = 3PQ. Биссектрисы углов P и Q параллелограмма пересекают прямую RS в точках A и B соответственно. Найдите стороны параллелограмма, если AB = 14.

Обозначим меньшую сторону через PQ = a. Тогда QR = 3a.

Пусть H — основание перпендикуляра из P на прямую RS. Расстояние между параллельными прямыми PQ и RS равно высоте параллелограмма. Биссектриса угла P пересекает RS в точке A. Из равенства расстояний от точки на биссектрисе до сторон угла следует, что HA = PS = 3a.

Аналогично, если K — основание перпендикуляра из Q на RS, то для точки B на биссектрисе угла Q получаем KB = QR = 3a. При этом HK = PQ = a. Точки A и B лежат по разные стороны от отрезка HK, поэтому AB = HA + HK + KB = 3a + a + 3a = 7a.

Подставим AB = 14: 7a = 14, откуда a = 2. Следовательно, PQ = RS = 2, а QR = PS = 3 · 2 = 6.

Ответ: стороны параллелограмма равны 2 и 6.