В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.

Доказательство:

• В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, биссектрисы этих углов также образуют равные углы.
• Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором проведены биссектрисы углов A и C, пересекающие стороны BC и AD в точках E и F соответственно.
• Так как AE и CF — биссектрисы, то углы BAE и DCF равны половине углов A и C соответственно. Значит, \(\angle BAE = \angle DCF\).
• Углы BEA и DFC равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущих AE и CF.
• Значит, треугольники ABE и CDF равны по стороне (AB = CD как противоположные стороны параллелограмма) и двум прилежащим к ней углам (\(\angle BAE = \angle DCF\) и \(\angle BEA = \angle DFC\)).
• Из равенства треугольников следует, что BE = DF.
• Аналогично можно доказать, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.

Что и требовалось доказать.