В параллелограмме угол А равен 150° и сторона АВ = 8. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите площадь треугольника АВЕ.

Задача №1.

Дано: ABCD - параллелограмм, ∠А = 150°, АВ = 8, АЕ - биссектриса ∠А.

Найти: S_ABE

Решение:

1) Биссектриса АЕ отсекает равнобедренный треугольник АВЕ, значит ∠BAE = ∠EAD = 150° : 2 = 75°.

2) ∠В = 180° - ∠А = 180° - 150° = 30°.

3) Рассмотрим ΔАВЕ. ∠ВЕА = 180° - (∠В + ∠BAE) = 180° - (30° + 75°) = 75°. Следовательно, ΔАВЕ - равнобедренный (углы при основании равны), значит ВЕ = АВ = 8.

4) Площадь треугольника АВЕ равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

$$S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE \cdot sin B = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 16$$

Ответ: S_ABE = 16