В параллелограмме угол А равен 30° и сторона АВ = 6. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите площадь треугольника АВЕ. SABE =

В параллелограмме угол $$A$$ равен $$30^{\circ}$$, сторона $$AB = 6$$. Биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$E$$. Необходимо найти площадь треугольника $$ABE$$.

1) Так как $$AE$$ - биссектриса угла $$A$$, то $$\angle BAE = \angle EAD = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 30^{\circ} = 15^{\circ}$$.

2) В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, $$BC \parallel AD$$. Тогда $$\angle BEA = \angle EAD$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$AE$$. Следовательно, $$\angle BEA = 15^{\circ}$$.

3) Таким образом, в треугольнике $$ABE$$ углы $$\angle BAE = \angle BEA = 15^{\circ}$$. Значит, треугольник $$ABE$$ - равнобедренный с основанием $$AE$$, и $$AB = BE = 6$$.

4) Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$$, где $$a$$ и $$b$$ - стороны треугольника, а $$\gamma$$ - угол между ними. В нашем случае $$a = AB = 6$$, $$b = BE = 6$$, а угол между ними $$\angle ABE$$ является смежным с углом параллелограмма при вершине $$B$$.

5) В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $$180^{\circ}$$. Значит, $$\angle B + \angle A = 180^{\circ}$$, отсюда $$\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$$.

6) Теперь можно найти площадь треугольника $$ABE$$: $$S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE \cdot \sin(\angle ABE) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(150^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \sin(150^{\circ})$$.

7) Так как $$\sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$$, то $$S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} = 9$$.

Ответ: 9