18. В парке длина беговой дорожки составляет 500 метров. Из противоположных концов дорожки одновременно вышли танцор и бегун. Танцор движется со скоростью 1 м/с, а бегун — со скоростью 2 м/с. Какое расстояние будет между ними через 5 минут? Найдите все возможные варианты.

Сначала нужно определить, встретятся ли танцор и бегун за 5 минут, и если нет, то какое расстояние будет между ними. 5 минут = 5 * 60 = 300 секунд. Путь танцора за 300 секунд: $$S_{танцора} = 1 м/с * 300 с = 300$$ метров. Путь бегуна за 300 секунд: $$S_{бегуна} = 2 м/с * 300 с = 600$$ метров. Сумма пройденных расстояний танцора и бегуна: $$S_{сум} = 300 + 600 = 900$$ метров. Так как длина дорожки 500 метров, они встретятся. Они встретятся, когда суммарно пройдут 500 метров. Время до встречи: $$t = \frac{500}{1 + 2} = \frac{500}{3} \approx 166.67$$ секунд. Они встретятся и продолжат движение в противоположных направлениях. Остаток времени: $$300 - 166.67 = 133.33$$ секунд. Расстояние, которое пройдет танцор после встречи: $$S_{танцора2} = 1 м/с * 133.33 с = 133.33$$ метров. Расстояние, которое пройдет бегун после встречи: $$S_{бегуна2} = 2 м/с * 133.33 с = 266.66$$ метров. Сумма этих расстояний 400 метров. Так как длина дорожки 500 метров, они опять не встретились. Тогда нужно учесть, что каждый из них мог пройти всю дорожку и начать двигаться в обратном направлении. Танцор окажется на расстоянии 133.33 метров от места встречи. Бегун окажется на расстоянии 266.66 от места встречи. Расстояние между ними: $$500 - (133.33+266.66)$$ = 100 метров. **Ответ:** Через 5 минут расстояние между танцором и бегуном будет 100 метров.