В парке посадили в ряд аллею деревьев. Через год между любыми двумя соседними деревьями посадили ещё по одному. Ещё через год проделали то же самое. Стало 1197 деревьев. Сколько их было изначально?

Решение:

Пусть изначально в парке было \( n \) деревьев. Деревья росли в ряд, поэтому между любыми двумя соседними деревьями было \( n-1 \) промежутков.

Через год:

Между любыми двумя соседними деревьями посадили ещё по одному. Это значит, что в каждый из \( n-1 \) промежутков посадили по 1 дереву.

Количество посаженных деревьев: \( 1 \cdot (n-1) = n-1 \).

Общее количество деревьев стало: \( n + (n-1) = 2n - 1 \).

Ещё через год:

Теперь у нас \( 2n-1 \) деревьев. Количество промежутков между ними стало: \( (2n-1) - 1 = 2n-2 \).

В каждый из этих \( 2n-2 \) промежутков посадили по 1 дереву.

Количество посаженных деревьев: \( 1 \cdot (2n-2) = 2n-2 \).

Общее количество деревьев стало: \( (2n-1) + (2n-2) = 4n - 3 \).

По условию, после двух лет стало 1197 деревьев. Составим уравнение:

\[ 4n - 3 = 1197 \]

Решим уравнение:

1. Прибавим 3 к обеим частям уравнения:
\[ 4n = 1197 + 3 \]\[ 4n = 1200 \]

2. Разделим обе части уравнения на 4:
\[ n = \frac{1200}{4} \]\[ n = 300 \]

Изначально было 300 деревьев.

Проверка:

1. Изначально: 300 деревьев.
2. Через год: \( 300 + (300-1) = 300 + 299 = 599 \) деревьев.
3. Еще через год: \( 599 + (599-1) = 599 + 598 = 1197 \) деревьев.

Ответ: Изначально было 300 деревьев.