В первый день потратили 20% всех денег. Во второй день — 50% от остатка. В третий день потратили последние 40 рублей. Сколько денег было изначально?

Пусть первоначально было \(x\) рублей.

После первого дня осталось \(80\%\) всех денег: \(0.8x\). Во второй день потратили половину остатка, поэтому осталось \(50\%\) от \(0.8x\):

\[0.5 \cdot 0.8x=0.4x.\]

По условию эти оставшиеся деньги составили 40 рублей:

\[0.4x=40,\qquad x=\frac{40}{0.4}=100.\]

Ответ: 100 рублей.