1. В первый день туристы прошли треть всей протяжённости маршрута. Во второй - пятую часть всего маршрута. После чего им осталось пройти ещё 14 км. Найдите общую протяжённость маршрута. 2. Пункты А и Б, расстояние между которыми 270 км, расположены на прямом участке железной дороги. Из пунктов А и Б одновременно по этой дороге с постоянными скоростями выехали пассажирский и грузовой поезда. Пассажирский поезд идёт с постоянной скоростью 125 км/ч, грузовой - с постоянной скоростью 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час после начала движения? Найдите все возможные варианты.

Задача 1:

• Пусть общая протяжённость маршрута составляет x км.
• В первый день туристы прошли \(\frac{1}{3}x\) км.
• Во второй день туристы прошли \(\frac{1}{5}x\) км.
• После двух дней им осталось пройти 14 км.

Составим уравнение:

\[\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}x + 14 = x\]

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим:

\[\frac{5}{15}x + \frac{3}{15}x + 14 = x\] \[\frac{8}{15}x + 14 = x\]

Перенесем \(\frac{8}{15}x\) в правую часть уравнения:

\[14 = x - \frac{8}{15}x\] \[14 = \frac{15}{15}x - \frac{8}{15}x\] \[14 = \frac{7}{15}x\]

Теперь найдем x, умножив обе части уравнения на \(\frac{15}{7}\):

\[x = 14 \cdot \frac{15}{7}\] \[x = 2 \cdot 15\] \[x = 30\]

Ответ: Общая протяжённость маршрута составляет 30 км.

Задача 2:

Рассмотрим два возможных варианта движения поездов:

• Поезда движутся навстречу друг другу.
• Поезда движутся в одном направлении.

Вариант 1: Поезда движутся навстречу друг другу.

• Скорость пассажирского поезда: 125 км/ч.
• Скорость грузового поезда: 90 км/ч.
• Расстояние между пунктами A и Б: 270 км.

Определим, сближаются поезда или удаляются. В данном случае они сближаются.

Найдем скорость сближения поездов:

\[125 + 90 = 215 \text{ км/ч}\]

Найдем расстояние между ними через час:

\[270 - 215 = 55 \text{ км}\]

Вариант 2: Поезда движутся в одном направлении.

• Скорость пассажирского поезда: 125 км/ч.
• Скорость грузового поезда: 90 км/ч.
• Расстояние между пунктами A и Б: 270 км.

Определим, сближаются поезда или удаляются. В данном случае они удаляются, так как пассажирский поезд быстрее.

Найдем скорость удаления поездов:

\[125 - 90 = 35 \text{ км/ч}\]

Найдем расстояние между ними через час:

\[270 + 35 = 305 \text{ км}\]

Ответ: Если поезда движутся навстречу друг другу, расстояние между ними через час будет 55 км. Если поезда движутся в одном направлении, расстояние между ними через час будет 305 км.