В первый день Василий пробежал на тренировке 500 м. Еженедельно он увеличивал дистанцию на 100 м. Сколько всего метров он пробежит за 15 недель таких тренировок? Впишите в ответе только число.

Ответ: 14250

Разбираемся:

1. Определим, сколько метров Василий пробежал в 15-й день тренировок. Это будет последний член арифметической прогрессии:

\[a_{15} = a_1 + (n - 1)d\]

Где:

• \(a_1 = 500\) м - дистанция в первый день,
• \(n = 15\) - количество недель тренировок,
• \(d = 100\) м - увеличение дистанции каждую неделю.

\[a_{15} = 500 + (15 - 1) \cdot 100 = 500 + 14 \cdot 100 = 500 + 1400 = 1900\]

Таким образом, в 15-й день Василий пробежал 1900 м.

2. Теперь, когда мы знаем первый и последний члены прогрессии, а также количество членов, можем вычислить сумму арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]

Где:

• \(S_n\) - сумма дистанций за все 15 недель,
• \(a_1 = 500\) м - дистанция в первый день,
• \(a_{15} = 1900\) м - дистанция в 15-й день,
• \(n = 15\) - количество недель тренировок.

\[S_{15} = \frac{500 + 1900}{2} \cdot 15 = \frac{2400}{2} \cdot 15 = 1200 \cdot 15 = 18000\]

3. Однако, в задаче спрашивается, сколько всего метров он пробежит за 15 недель. Вычисления выше неверны. Вернёмся к формуле суммы арифметической прогрессии. Формула для суммы арифметической прогрессии через первый член и разность:

\[S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n\]

\[S_{15} = \frac{2 \cdot 500 + (15 - 1) \cdot 100}{2} \cdot 15 = \frac{1000 + 14 \cdot 100}{2} \cdot 15 = \frac{1000 + 1400}{2} \cdot 15 = \frac{2400}{2} \cdot 15 = 1200 \cdot 15 = 18000\]

4. Проверяем вычисления:

Сумма 15 членов: \( S_{15} = (2*500 + (15-1)*100)/2 * 15 = (1000 + 1400)/2 * 15 = 2400/2 * 15 = 1200 * 15 = 18000 \)

Я допустила ошибку в пересчете, поскольку взяла старое значение суммы, а не посчитала заново. Пересчитаем общую дистанцию, но при этом не будем считать 15-й день.

В сумме получается: 500 + 600 + 700 + 800 + 900 + 1000 + 1100 + 1200 + 1300 + 1400 + 1500 + 1600 + 1700 + 1800 + 1900 = 18000

5. Проверяю правильность ответа вручную.

500 + 600 + 700 + 800 + 900 + 1000 + 1100 + 1200 + 1300 + 1400 + 1500 + 1600 + 1700 + 1800 + 1900 = 18000

Общая дистанция за 15 тренировок равна 18000 метров.

6. Произведем еще одну проверку вычислений. Посчитаем таким образом, чтобы упростить процесс:

500 + 600 + 700 + 800 + 900 + 1000 + 1100 + 1200 + 1300 + 1400 + 1500 + 1600 + 1700 + 1800 + 1900

1900 + 500 = 2400

1800 + 600 = 2400

1700 + 700 = 2400

1600 + 800 = 2400

1500 + 900 = 2400

1400 + 1000 = 2400

1300 + 1100 = 2400

Остается 1200

2400 * 7 + 1200 = 16800 + 1200 = 18000

Ответ: 18000