В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 6 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 13, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть $$x$$ - количество мышек, пришедших в первую ночь. Тогда каждая мышка съела $$6/x$$ головок сыра. Во вторую ночь пришло 13 мышек, и каждая съела $$(6/x)/3 = 2/x$$ головок сыра. Общее количество съеденного сыра во вторую ночь равно $$13 imes (2/x) = 26/x$$. Так как во вторую ночь доели оставшийся сыр, а всего было съедено 6 головок, то $$26/x = 6$$. Решая это уравнение, получаем $$x = 26/6 = 13/3$$. Так как количество мышек должно быть целым, в условии задачи есть противоречие. Если предположить, что в первую ночь пришло 13 мышек, а во вторую ночь пришло $$y$$ мышек, то каждая мышка в первую ночь съела $$6/13$$ головок сыра. Во вторую ночь каждая мышка съела $$(6/13)/3 = 2/13$$ головок сыра. Общее количество съеденного сыра во вторую ночь равно $$y imes (2/13)$$. Если предположить, что в первую ночь пришло $$x$$ мышек и они съели 6 головок, а во вторую ночь пришло 13 мышек и они съели оставшийся сыр, причем каждая съела в 3 раза меньше, чем накануне. Пусть $$S$$ - общее количество сыра. Тогда в первую ночь съедено $$6$$ головок. Во вторую ночь съедено $$S-6$$ головок. Пусть $$m_1$$ - количество мышек в первую ночь, $$q_1$$ - количество сыра на мышку в первую ночь. $$m_1 imes q_1 = 6$$. Во вторую ночь пришло 13 мышек, $$q_2 = q_1/3$$. $$13 imes q_2 = S-6$$. $$13 imes (q_1/3) = S-6$$. $$13 imes (6/(3m_1)) = S-6$$. $$26/m_1 = S-6$$. Если предположить, что в первую ночь пришло 13 мышек, то $$q_1 = 6/13$$. Во вторую ночь пришло $$m_2$$ мышек, и каждая съела $$q_2 = (6/13)/3 = 2/13$$. Общее количество съеденного во вторую ночь: $$m_2 imes (2/13)$$. Если предположить, что в первую ночь пришло $$x$$ мышек, и они съели 6 головок. Во вторую ночь пришло 13 мышек, и они съели оставшийся сыр. Каждая мышка во вторую ночь съела в 3 раза меньше, чем в первую. Пусть $$q$$ - количество сыра, съеденное одной мышкой в первую ночь. Тогда $$x imes q = 6$$. Во вторую ночь каждая мышка съела $$q/3$$. Всего было съедено $$13 imes (q/3)$$ сыра. Это и есть оставшийся сыр. Общее количество сыра $$S = 6 + 13 imes (q/3)$$. Из первого уравнения $$q = 6/x$$. Подставляем во второе: $$S = 6 + 13 imes (6/(3x)) = 6 + 26/x$$. Так как $$x$$ - количество мышек, оно должно быть целым. Если $$x=1$$, $$S = 6+26=32$$. Если $$x=2$$, $$S = 6+13=19$$. Если $$x=13$$, $$S = 6+2=8$$. Если $$x=26$$, $$S = 6+1=7$$. Если предположить, что в первую ночь пришло 2 мышки, то каждая съела 3 головки. Во вторую ночь пришло 13 мышек, каждая съела $$3/3=1$$ головку. Всего съедено $$13 imes 1 = 13$$ головок. Общее количество сыра $$6+13=19$$. Если предположить, что в первую ночь пришло 13 мышек, то каждая съела $$6/13$$ головок. Во вторую ночь пришло 13 мышек, каждая съела $$(6/13)/3 = 2/13$$ головок. Всего съедено $$13 imes (2/13) = 2$$ головки. Общее количество сыра $$6+2=8$$.