В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причем все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Пусть $$x$$ - количество головок сыра, которое съела каждая мышка в первую ночь. Тогда всего было съедено $$9x$$ сыра. Во вторую ночь 11 мышек съели в 3 раза меньше, то есть каждая съела $$\frac{x}{3}$$ сыра. Всего во вторую ночь было съедено $$11 \times \frac{x}{3}$$ сыра. Так как во вторую ночь доели оставшийся сыр, то $$9x = 11 \times \frac{x}{3}$$. Это уравнение не имеет смысла, так как $$9x$$ должно быть больше, чем $$11 \times \frac{x}{3}$$.
Переформулируем условие: Пусть $$N$$ - общее количество головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра. Осталось $$N-9$$ головок. Следующей ночью пришли 11 мышек. Каждая мышка съела в 3 раза меньше, чем накануне. Пусть $$S$$ - количество сыра, съеденное одной мышкой в первую ночь. Тогда всего съедено $$9S$$. Во вторую ночь каждая мышка съела $$\frac{S}{3}$$. Всего съедено $$11 \times \frac{S}{3}$$. Значит, $$N-9 = 11 \times \frac{S}{3}$$.
Из условия, что 9 мышек съели 9 головок поровну, следует, что каждая мышка съела 1 головку сыра. То есть $$S=1$$. Тогда во вторую ночь 11 мышек съели $$11 \times \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$$ головок сыра. Всего было съедено $$9 + \frac{11}{3} = \frac{27+11}{3} = \frac{38}{3}$$ головок сыра. Это не целое число, что противоречит условию задачи.
Предположим, что