В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Решение:

Обозначим количество мышек, которые пришли в первую ночь, как \( N_1 \). Каждая из \( N_1 \) мышек съела \( x \) сыра. Всего было съедено 9 головок сыра, значит, \( N_1 \cdot x = 9 \).

Следующей ночью пришли 11 мышек. Каждая из них съела в 3 раза меньше сыра, чем накануне, то есть \( \frac{x}{3} \) сыра.

Общее количество сыра, съеденного второй ночью: \( 11 \cdot \frac{x}{3} \).

Оставшийся сыр был съеден второй ночью. Значит, \( 11 \cdot \frac{x}{3} \) — это остаток от 9 головок сыра.

Мы не знаем \( N_1 \) и \( x \) точно, но можем найти их произведение, если предположим, что \( N_1 \) — это целое число. Наиболее вероятным количеством мышек, съевших 9 головок поровну, являются 3 или 9 мышек.

Случай 1: Было 3 мышки, каждая съела по 3 головки сыра.

Во вторую ночь пришли 11 мышек. Каждая съела \( 3 \div 3 = 1 \) головку сыра.

Всего второй ночью съели: \( 11 \cdot 1 = 11 \) головок сыра.

Общее количество сыра: \( 9 + 11 = 20 \) головок сыра.

Случай 2: Было 9 мышек, каждая съела по 1 головке сыра.

Во вторую ночь пришли 11 мышек. Каждая съела \( 1 \div 3 = \frac{1}{3} \) головки сыра.

Всего второй ночью съели: \( 11 \cdot \frac{1}{3} = \frac{11}{3} = 3 \frac{2}{3} \) головок сыра.

Общее количество сыра: \( 9 + 3 \frac{2}{3} = 12 \frac{2}{3} \) головок сыра.

Учитывая, что сыр съедали «поровну», а также что мышки — животные, менее вероятно, что они съедали дробное количество сыра. Поэтому первым случаем пользуемся как наиболее вероятным.

Проверка:

Если было 20 головок сыра, то первая ночь: 9 головок съели 3 мышки, каждая по 3 головки.

Осталось: \( 20 - 9 = 11 \) головок сыра.

Вторая ночь: 11 мышек съели 11 головок сыра. Каждая съела \( 11 \div 11 = 1 \) головку сыра.

Сравниваем, сколько съела мышка во вторую ночь (1) и в первую ночь (3): \( 1 \) в 3 раза меньше, чем \( 3 \). Условие выполняется.

Ответ: В погребе хранилось 20 головок сыра.