В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 6 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 13, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Решение:

1. Пусть x - количество мышек, пришедших в первую ночь.
2. Тогда каждая мышка в первую ночь съела $$\frac{6}{x}$$ головок сыра.
3. Во вторую ночь пришло 13 мышек, и каждая съела в три раза меньше, чем в первую ночь, то есть $$\frac{6}{3x} = \frac{2}{x}$$ головок сыра.
4. Предположим, что всего в погребе было y головок сыра. После первой ночи осталось y - 6 головок.
5. Получаем уравнение: $$13 \cdot \frac{2}{x} = y - 6$$
6. $$y = \frac{26}{x} + 6$$
7. Так как количество мышек должно быть целым числом, и количество головок сыра тоже должно быть целым числом, нужно найти такие значения x, при которых y будет целым.
8. x должно быть делителем числа 26. Делители числа 26: 1, 2, 13, 26.
9. Перебираем значения x:
* Если x = 1, то $$y = \frac{26}{1} + 6 = 32$$
* Если x = 2, то $$y = \frac{26}{2} + 6 = 13 + 6 = 19$$
* Если x = 13, то $$y = \frac{26}{13} + 6 = 2 + 6 = 8$$
* Если x = 26, то $$y = \frac{26}{26} + 6 = 1 + 6 = 7$$
10. Так как во вторую ночь мышки доели оставшийся сыр, то $$y-6>0$$, то есть $$y>6$$. Значит, все варианты подходят.
11. Проверим условия задачи. Мы знаем, что всего сыра y головок, а в первую ночь съели 6 головок. Значит $$y > 6$$.
12. Во вторую ночь пришли 13 мышек и съели $$\frac{2}{x}$$ сыра, что в сумме должно быть $$y-6$$.
13. Если y = 32, то x = 1, тогда $$13 \cdot \frac{2}{1} = 26 = 32 - 6$$. Условие выполняется.
14. Если y = 19, то x = 2, тогда $$13 \cdot \frac{2}{2} = 13 = 19 - 6$$. Условие выполняется.
15. Если y = 8, то x = 13, тогда $$13 \cdot \frac{2}{13} = 2 = 8 - 6$$. Условие выполняется.
16. Если y = 7, то x = 26, тогда $$13 \cdot \frac{2}{26} = 1 = 7 - 6$$. Условие выполняется.
17. Однако, нужно учесть, что мыши ели сыр. Следовательно, общее количество сыра должно быть не меньше съеденного ими в первую ночь. Это значит, что $$y \ge 6$$.
18. Т.к. мышки съели 6 головок сыра в первую ночь, то $$y \ge 7$$. Итак, все варианты больше 6.
19. Подходят все ответы. Но исходя из условия, необходимо, что бы мышки ели сыр "поровну", то есть значение $$6/x$$ было правдоподобным. Поэтому, если пришло 26 мышек, то каждая съела очень мало, и условие "поровну" кажется нереалистичным.

Рассмотрим другие варианты. Если y = 8, то пришло 13 мышек, и это кажется нелогичным, так как они тогда во вторую ночь доели всего 2 головки сыра. Снова условие "поровну" не выполняется.

Пусть было 19 головок сыра, тогда x = 2. Это правдоподобно, так как две мышки смогли поровну съесть 6 головок сыра. Во вторую ночь 13 мышек доели оставшиеся 13 головок сыра. Каждая съела 1 головку, что в 3 раза меньше, чем в первую ночь (каждая съела 3 головки).

Если y = 32, то x = 1. В первую ночь была одна мышка, которая съела 6 головок сыра. Во вторую ночь 13 мышек съели оставшиеся 26 головок сыра, то есть каждая съела по 2 головки, что в 3 раза меньше, чем в первую ночь.

Т.к. в условии ничего не сказано об ограничении на количество мышек, то можно выбрать любой ответ. Наиболее правдоподобный, скорее всего, 19 или 32.

Ответ: 19 или 32