В полном графе количество рёбер 465. Сколько в нём вершин?

Решение:

В полном графе количество вершин \( n \) и количество рёбер \( E \) связаны формулой: \( E = \frac{n(n-1)}{2} \).

Нам дано, что количество рёбер \( E = 465 \). Подставим это значение в формулу:

\[ \frac{n(n-1)}{2} = 465 \]

Умножим обе части уравнения на 2:

\[ n(n-1) = 465 \cdot 2 \]\[ n(n-1) = 930 \]

Мы получили квадратное уравнение:

\[ n^2 - n - 930 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-930) = 1 + 3720 = 3721 \]

Найдем квадратный корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{3721} = 61 \]

Теперь найдем значения \( n \):

\[ n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 61}{2} = \frac{62}{2} = 31 \]\[ n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 61}{2} = \frac{-60}{2} = -30 \]

Поскольку количество вершин не может быть отрицательным, мы принимаем \( n = 31 \).

Ответ: 31