В полном графе количество рёбер 435. Сколько в нём вершин?

В полном графе с $$n$$ вершинами количество рёбер равно $$\frac{n(n-1)}{2}$$. Нам дано, что количество рёбер равно 435. Значит, нужно решить уравнение: $$\frac{n(n-1)}{2} = 435$$ Умножаем обе части уравнения на 2: $$n(n-1) = 870$$ Раскрываем скобки: $$n^2 - n = 870$$ Переносим 870 в левую часть уравнения: $$n^2 - n - 870 = 0$$ Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Можно использовать квадратное уравнение, но проще подобрать число, которое при умножении на число на единицу меньше даст 870. Так как $$30 * 30 = 900$$, попробуем числа около 30. Заметим, что $$30 * 29 = 870$$, значит $$n = 30$$. Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой: $$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ В нашем случае, $$a = 1$$, $$b = -1$$, $$c = -870$$. Подставляем значения в формулу: $$n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-870)}}{2(1)}$$ $$n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 3480}}{2}$$ $$n = \frac{1 \pm \sqrt{3481}}{2}$$ $$n = \frac{1 \pm 59}{2}$$ Получаем два возможных значения для $$n$$: $$n_1 = \frac{1 + 59}{2} = \frac{60}{2} = 30$$ $$n_2 = \frac{1 - 59}{2} = \frac{-58}{2} = -29$$ Так как количество вершин не может быть отрицательным, то $$n = 30$$. Таким образом, в графе 30 вершин.