В посёлке 27 домов. Можно ли соединить их телефонными линиями так, чтобы каждый дом был соединён ровно с девятью другими? Ответ поясните.

Если каждый из 27 домов соединён ровно с 9 другими, сумма степеней вершин графа равна \(27\cdot 9=243\).

Но сумма степеней графа всегда чётна, так как каждое ребро учитывается у двух домов. Число \(243\) нечётное, поэтому такое соединение невозможно.

Ответ: нельзя.