В правильном тетраэдре \(DABC\), все рёбра которого равны 4, найдите расстояние от середины ребра \(DC\) до плоскости \(ABC\).

Пошаговое решение:

• Пусть \(M\) — середина ребра \(DC\). Расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\) равно половине высоты тетраэдра, опущенной из вершины \(D\) на плоскость \(ABC\).
• Обозначим высоту тетраэдра как \(h\). В правильном тетраэдре высота, опущенная из вершины, также является медианой и биссектрисой основания.
• Высота правильного тетраэдра со стороной \(a\) вычисляется по формуле:\[h = a \frac{\sqrt{6}}{3}\]
• В нашем случае, \(a = 4\), следовательно:\[h = 4 \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\]
• Так как \(M\) — середина ребра \(DC\), расстояние от \(M\) до плоскости \(ABC\) равно половине высоты \(h\):\[\frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\]

Ответ: \(\frac{2\sqrt{6}}{3}\)