В правильном тетраэдре ABCD с ребром 1 точка E — середина ребра CD. Поместите тетраэдр в произвольную прямоугольную систему координат xyz. Найдите косинус угла между прямыми AE и BC. Полученное значение умножьте на √3 и запишите в ответ.

Выберем координаты вершин правильного тетраэдра: \(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\), \(C=(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0)\), \(D=(\frac12,\frac{\sqrt3}{6},\sqrt{\frac23})\). Все рёбра имеют длину 1.

Так как E — середина CD, \(E=(\frac12,\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt{2/3}}2)\). Тогда \(\overrightarrow{AE}=(\frac12,\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt{2/3}}2)\), а \(\overrightarrow{BC}=(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0)\).

Скалярное произведение направляющих векторов равно \(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC}=-\frac14+\frac12=\frac14\). Их длины: \(|AE|=\sqrt{\frac14+\frac13+\frac16}=\frac{\sqrt3}{2}\), \(|BC|=1\).

Следовательно, косинус угла между прямыми равен \(\frac{|\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC}|}{|AE||BC|}=\frac{1}{2\sqrt3}\). Умножаем на \(\sqrt3\): \(\frac{1}{2\sqrt3}\cdot\sqrt3=\frac12\).

Ответ: 0.5