В правильном тетраэдре ABCD с ребром 1 точка E — середина ребра CD. Поместите в правильную прямоугольную систему координат xyz и выполните задание: найдите косинус угла между прямыми AE и BC. Полученное значение умножьте на √3 и запишите в ответ.

Выберем координаты:

\(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0\right)\), \(D\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{6},\sqrt{\frac23}\right)\).

Так как \(E\) — середина \(CD\), то

\[E\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt6}{6}\right).\]

Направляющие векторы:

\[\overrightarrow{AE}=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt6}{6}\right),\qquad \overrightarrow{BC}=\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0\right).\]

Их скалярное произведение:

\[\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC}=-\frac14+\frac12=\frac14.\]

Длины векторов:

\[|AE|=\sqrt{\frac14+\frac13+\frac16}=\frac{\sqrt3}{2},\qquad |BC|=1.\]

Следовательно,

\[\cos\alpha=\frac{\frac14}{\frac{\sqrt3}{2}\cdot1}=\frac{\sqrt3}{6}.\]

Умножаем на \(\sqrt3\):

\[\frac{\sqrt3}{6}\cdot\sqrt3=\frac12.\]

Ответ: 0.5