В правильном тетраэдре ABCD с ребром 1 точка E — середина ребра CD. Поместите в произвольную прямоугольную систему координат xyz и выполните задание: найдите косинус угла между прямыми AE и BC. Полученное значение умножьте на √3 и запишите в ответ.

Выберем координаты вершин так, чтобы основание ABC лежало в плоскости z = 0:

\(A=(0,0,0),\ B=(1,0,0),\ C=(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0),\ D=(\frac12,\frac{\sqrt3}{6},\sqrt{\frac23})\). Все рёбра тетраэдра имеют длину 1.

Так как E — середина CD, получаем \(E=(\frac12,\frac{\sqrt3}{3},\frac12\sqrt{\frac23})\).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AE}=(\frac12,\frac{\sqrt3}{3},\frac12\sqrt{\frac23})\), \(\overrightarrow{BC}=(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0)\).

Их скалярное произведение равно \(\frac14\), а длины равны \(|AE|=\frac{\sqrt3}{2}\) и \(|BC|=1\). Поэтому \(\cos\angle(AE,BC)=\frac{\frac14}{\frac{\sqrt3}{2}\cdot1}=\frac{1}{2\sqrt3}\).

Умножаем требуемое значение на \(\sqrt3\): \(\frac{1}{2\sqrt3}\cdot\sqrt3=\frac12\).

Ответ: \(\frac12\).