В правильном тетраэдре ABCD с ребром 1 точка E — середина ребра CD. Поместите в произвольную точку прямоугольную систему координат xyz и выполните задание: найдите косинус угла между прямыми AE и BC. Полученное значение умножьте на √3 и запишите в ответ.

Выберем координаты вершин правильного тетраэдра: A = (1, 1, 1), B = (1, −1, −1), C = (−1, 1, −1), D = (−1, −1, 1). Все расстояния между этими точками равны, поэтому масштаб координат на искомый результат не повлияет.

Так как E — середина CD, то E = (−1, 0, 0). Направляющие векторы прямых можно взять равными \(\overrightarrow{AE}=(-2,-1,-1)\) и \(\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)\).

Косинус угла между прямыми равен модулю скалярного произведения направляющих векторов, делённому на произведение их длин:

\(\cos\varphi=\dfrac{|(-2)(-2)+(-1)\cdot2+(-1)\cdot0|}{\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+(-1)^2}\,\sqrt{(-2)^2+2^2}}=\dfrac{2}{\sqrt6\sqrt8}=\dfrac{1}{2\sqrt3}.\)

Требуемое значение: \(\sqrt3\cos\varphi=\sqrt3\cdot\dfrac{1}{2\sqrt3}=\dfrac12.\)

Ответ: 0,5.