В правильном тетраэдре ABCD с ребром 1 точка E — середина ребра CD. Вычислите синус угла между прямой AE и плоскостью ABC. Полученное значение умножьте на √18 и запишите в ответ.

Плоскость \(ABC\) имеет уравнение \(z=0\). Из выбранных координат:

\[A(0,0,0),\qquad E\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt6}{6}\right).\]

Длина отрезка \(AE\):

\[AE=\sqrt{\frac14+\frac13+\frac16}=\frac{\sqrt3}{2}.\]

Перпендикулярная к плоскости \(ABC\) составляющая вектора \(\overrightarrow{AE}\) равна \(\frac{\sqrt6}{6}\). Поэтому синус угла между прямой и плоскостью равен отношению перпендикулярной составляющей к длине вектора:

\[\sin\beta=\frac{\frac{\sqrt6}{6}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{\sqrt2}{3}.\]

Умножаем на \(\sqrt{18}=3\sqrt2\):

\[\frac{\sqrt2}{3}\cdot3\sqrt2=2.\]

Ответ: 2