В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 2. Найдите расстояние между медианой DK треугольника ABD и медианой BN треугольника АВС.

Решение

Пусть ребро тетраэдра равно a. Тогда медианы DK и BN равны \[\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.\]

Обозначим середину отрезка AC точкой M. Тогда MN – средняя линия треугольника ABC, и MN || AB. Аналогично MK – средняя линия треугольника ADC, и MK || DC. Так как AB || CD, то точки M, N, K лежат на одной прямой.

Расстояние между DK и BN равно расстоянию от точки N до прямой DK.

Рассмотрим треугольник DNK. DN = DK = \(\sqrt{3}\). KN = \(\frac{a}{2} = 1\).

Опустим высоту NH на DK. Пусть DH = x. Тогда HK = \(\sqrt{3} - x\).

Из прямоугольных треугольников DNH и HNK:

\[NH^2 = DN^2 - DH^2 = KN^2 - HK^2\]

\[3 - x^2 = 1 - (\sqrt{3} - x)^2\]

\[3 - x^2 = 1 - (3 - 2\sqrt{3}x + x^2)\]

\[3 - x^2 = 1 - 3 + 2\sqrt{3}x - x^2\]

\[5 = 2\sqrt{3}x\]

\[x = \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{6}\]

\[NH = \sqrt{3 - \frac{25 \cdot 3}{36}} = \sqrt{3 - \frac{25}{12}} = \sqrt{\frac{36 - 25}{12}} = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{\sqrt{33}}{6}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{33}}{6}\)