Контрольные задания
Вопрос:

В правильном тетраэдре DABC с ребром a точка O — центр треугольника ABC. a) Постройте вектор \( \frac{1}{2} \vec{DB} - \frac{1}{2} \vec{DA} \) и найдите его длину. б) Найдите \( |\vec{OB} + \vec{BC} - \vec{DC}| \).

Фото задания: В правильном тетраэдре DABC с ребром a точка O — центр треугольника ABC. a) Постройте вектор \( \frac{1}{2} \vec{DB} -…Фото задания

Ответ:

Решение:

В правильном тетраэдре все грани — равносторонние треугольники, и все рёбра равны \( a \).

а) Построение вектора \( \vec{v} = \frac{1}{2} \vec{DB} - \frac{1}{2} \vec{DA} \) и нахождение его длины:

  1. Вынесем общий множитель: \( \vec{v} = \frac{1}{2} (\vec{DB} - \vec{DA}) \).
  2. По правилу вычитания векторов \( \vec{DB} - \vec{DA} = \vec{AB} \).
  3. Таким образом, \( \vec{v} = \frac{1}{2} \vec{AB} \).
  4. Вектор \( \vec{AB} \) — это ребро тетраэдра, его длина равна \( a \).
  5. Длина вектора \( \vec{v} \) равна половине длины вектора \( \vec{AB} \): \( |\vec{v}| = |\frac{1}{2} \vec{AB}| = \frac{1}{2} |\vec{AB}| = \frac{1}{2} a \).

б) Нахождение \( |\vec{OB} + \vec{BC} - \vec{DC}| \):

  1. Точка \( O \) — центр равностороннего треугольника \( ABC \).
  2. Воспользуемся свойством векторов: \( \vec{OB} + \vec{BC} = \vec{OC} \).
  3. Теперь выражение принимает вид: \( |\vec{OC} - \vec{DC}| \).
  4. По правилу вычитания векторов \( \vec{OC} - \vec{DC} = \vec{DO} \).
  5. Нам нужно найти длину вектора \( \vec{DO} \), который равен расстоянию от вершины \( D \) до центра основания \( ABC \).
  6. Высота \( h \) равностороннего треугольника со стороной \( a \) равна \( h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \).
  7. Центр равностороннего треугольника делит медиану (которая является и высотой) в отношении 2:1. Расстояние от вершины до центра (радиус описанной окружности) равно \( R = \frac{2}{3} h \).
  8. \( R = \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3} \).
  9. Высота тетраэдра \( H \) правильного тетраэдра со стороной \( a \) равна \( H = a \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} \).
  10. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной \( D \), центром основания \( O \) и вершиной основания (например, \( C \)). Катеты этого треугольника — \( DO \) (искомое расстояние) и \( OC = R = \frac{a \sqrt{3}}{3} \), гипотенуза — ребро \( DC = a \).
  11. По теореме Пифагора: \( DO^2 + OC^2 = DC^2 \)
  12. \( DO^2 + (\frac{a \sqrt{3}}{3})^2 = a^2 \)
  13. \( DO^2 + \frac{3a^2}{9} = a^2 \)
  14. \( DO^2 + \frac{a^2}{3} = a^2 \)
  15. \( DO^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3} \)
  16. \( DO = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} \).
  17. Таким образом, \( |\vec{DO}| = \frac{a \sqrt{6}}{3} \).

Ответ: а) \( |\frac{1}{2} \vec{AB}| = \frac{a}{2} \); б) \( |\vec{DO}| = \frac{a \sqrt{6}}{3} \).