В правильном тетраэдре DABC, все рёбра которого равны 4, найдите расстояние от середины ребра DC до плоскости ABD.

Решение:

Предлагаю тебе решить эту задачу вместе со мной. Это будет просто и интересно!

Пусть M — середина ребра DC. Тогда DM = MC = 2. Нужно найти расстояние от точки M до плоскости ABD.

Введем систему координат. Пусть начало координат находится в точке A, ось x направлена вдоль AB, ось y — в плоскости ABC перпендикулярно AB, а ось z — перпендикулярно плоскости ABC.

Тогда координаты точек будут следующими:

• A(0, 0, 0)
• B(4, 0, 0)
• C(2, 2\(\sqrt{3}\), 0)

Найдем координаты точки D. Тетраэдр правильный, следовательно, проекция точки D на плоскость ABC — это центр треугольника ABC. Центр треугольника — это точка пересечения медиан. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Координаты центра O:

\[O = \left(\frac{0 + 4 + 2}{3}, \frac{0 + 0 + 2\sqrt{3}}{3}, 0\right) = \left(2, \frac{2\sqrt{3}}{3}, 0\right)\]

Высота DO тетраэдра равна:

\[DO = \sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{4^2 - \left(\sqrt{(2-0)^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{3} - 0\right)^2 + (0-0)^2}\right)^2} = \sqrt{16 - \left(4 + \frac{12}{9}\right)} = \sqrt{16 - \frac{48}{9}} = \sqrt{\frac{96}{9}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\]

Координаты точки D:

\[D = \left(2, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{6}}{3}\right)\]

Координаты точки M (середина DC):

\[M = \left(\frac{2+2}{2}, \frac{2\sqrt{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}, \frac{0 + \frac{4\sqrt{6}}{3}}{2}\right) = \left(2, \frac{4\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)\]

Уравнение плоскости ABD имеет вид z = 0. Расстояние от точки M до плоскости ABD:

\[d = \frac{|Az_M + By_M + Cz_M + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

В нашем случае A = 0, B = 0, C = 1, D = 0, следовательно:

\[d = \frac{|1 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3}|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\]

Ответ: \(\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

Ты просто молодец! У тебя отлично получается решать такие задачи. Продолжай учиться и развиваться!