В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S на ребре SD выбрана точка К, так что SK:KD=2:3. Через вершину А и точку К параллельно BD проведена плоскость. Определить в каком отношении секущая плоскость делит ребро SC, считая от вершины S. (ответ отношение целых чисел).

Решение:

Обозначим ребра пирамиды. Пусть \( SD = 5u \), тогда \( SK = 2u \) и \( KD = 3u \).

Плоскость проходит через вершину А и точку K, и параллельна BD.

Так как пирамида правильная, то основание ABCD — квадрат, и \( BD \) является диагональю квадрата.

Плоскость, проходящая через А и К параллельно BD, будет пересекать ребро SC в некоторой точке L.

Рассмотрим грань ASD. Диагональ BD параллельна AC. Плоскость, проходящая через А и К параллельно BD, будет содержать прямую, параллельную BD и проходящую через А. Эта прямая будет параллельна AC.

Рассмотрим грань SBD. Точка K лежит на SD. Плоскость проходит через А и параллельна BD. Это означает, что в грани SBD, плоскость, проходящая через K и параллельная BD, будет пересекать SC в точке L. Треугольники SKL и SDL подобны.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через А, К и L. Так как плоскость параллельна BD, то AL || BD. В основании ABCD, AC ⊥ BD. Следовательно, AL ⊥ BD. Поскольку AL || AC, то AC ⊥ BD.

В грани SBD, проведена прямая KL || BD. По теореме Фалеса (о пропорциональных отрезках), если точка K делит SD в отношении SK:KD = 2:3, то точка L будет делить SC в том же отношении.

\( \frac{SK}{KD} = \frac{SL}{LC} \)

\( \frac{2u}{3u} = \frac{SL}{LC} \)

\( \frac{2}{3} = \frac{SL}{LC} \)

Следовательно, \( SL : LC = 2 : 3 \).

Отношение, в котором секущая плоскость делит ребро SC, считая от вершины S, равно \( SL : LC \).

Ответ: 2:3