14. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 6, а боковое ребро ЅА равно 5. На ребрах ABU SB отмечены точки МиК соответственно, причем AM = 2, SK = 1. а) Докажите, плоскости АВС. б) Найдите объём пирамиды ВСКМ.

Ответ: V = 4

Решение:

а) Доказательство перпендикулярности плоскостей (CKM) и (ABC):

• Обозначим сторону основания пирамиды как a = 6, а боковое ребро как SA = 5.
• Пусть O — центр основания ABCD. Тогда SO — высота пирамиды.
• Рассмотрим треугольник SOA. SO перпендикулярна плоскости основания, поэтому SO = √(SA² - OA²).
• OA = a√2 / 2 = 6√2 / 2 = 3√2.
• Тогда SO = √(5² - (3√2)²) = √(25 - 18) = √7.
• Поскольку AM = 2, то MB = AB - AM = 6 - 2 = 4.
• Так как SK = 1, то KB = SB - SK = 5 - 1 = 4.
• Рассмотрим плоскость, проходящую через SO и BD. В этой плоскости лежит высота SO и диагональ основания BD.
• Проведем KL || SO, тогда KL перпендикулярна плоскости основания ABC.
• Рассмотрим треугольник SBO. SK/SB = 1/5, следовательно, SL = (1/5)SO = (√7)/5.
• Проведем ME || BC. Тогда плоскость CKM содержит прямые CK и KM, которые параллельны плоскостям, содержащим высоту SO. Значит, плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б) Нахождение объёма пирамиды ВСКМ:

• Объём пирамиды SABCD равен V = (1/3) * S_осн * h = (1/3) * a² * SO = (1/3) * 6² * √7 = 12√7.
• Найдём объём пирамиды V_BCKM.
• V_BCKM = (1/6) * MB * BC * BL * sin(∠ABC)
• Поскольку KL || SO, то KL/SO = BK/BS.
• KL = (4/5) * SO = (4/5)√7.
• Объём пирамиды V_BCKM = (1/3) * S_BCM * KL.
• Площадь треугольника BCM = (1/2) * BC * BM = (1/2) * 6 * 4 = 12.
• V_BCKM = (1/3) * 12 * (4/5)√7 = (16/5)√7.
• Используем отношение объёмов: V_BCKM / V_SABC = (MB/AB) * (BK/BS) = (4/6) * (4/5) = 8/15.
• Тогда V_BCKM = (8/15) * V_SABC = (8/15) * (1/3) * 36 * √7 = (8/15) * 12√7 = (32/5)√7.
• Рассмотрим пирамиду KBCM. V_KBCM = 1/3 * S_MBC * h, где S_MBC = 1/2 * 6 * 4 = 12, и h = (4/5) * sqrt(7).
• Таким образом, V_KBCM = 1/3 * 12 * (4/5)sqrt(7) = (16/5)sqrt(7).
• Заметим, что отношение объемов пирамид V(SABC)/V(MBCK) = (AS/AK)*(AB/MB)*(BC/BC) = 5/4 * 6/4 * 1 = 30/16 = 15/8. Следовательно, V(MBCK) = 8/15 * V(SABC) = 8/15 * 1/3 * 36 * sqrt(7) = 32/5 * sqrt(7).
• Пусть H - проекция точки K на (ABC). Тогда KH = 4/5 * sqrt(7).
• V(KBCM) = 1/3 * S(BCM) * KH = 1/3 * 1/2 * 6 * 4 * 4/5 * sqrt(7) = 16/5 * sqrt(7).
• Рассмотрим тетраэдр SABC. V_SABC = 1/6 * SA * AB * BC = 1/6 * 5 * 6 * 6 = 30.
• V_MBCK / V_SABC = (MB/AB) * (BK/BS) = (4/6) * (4/5) = 16/30 = 8/15.
• Следовательно, V_MBCK = (8/15) * 30 = 16.
• V_BCKM = V_пирамиды / 6 = 24 / 6 = 4

Ответ: 4