Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика5. В правильной четырехугольной пирамиде SADCD боковое ребро в два раза больше стороны основания. Вычислите радиус окружности, описанной около грани SCD, если площадь треугольника SAC равна 2√7 см².
Ответ:
Ответ: 2 см
-
Шаг 1: Найдем сторону основания пирамиды.
Так как пирамида правильная, то в основании лежит квадрат. Площадь треугольника SAC можно выразить как половину произведения стороны основания на высоту, проведенную к этой стороне. Высота SO является также медианой и биссектрисой, и треугольник SAC - равнобедренный.
Пусть сторона основания равна a, тогда:
\[\begin{aligned}S_{SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = 2\sqrt{7}\\\end{aligned}\]Где AC - диагональ квадрата, AC = a√2.
Также, боковое ребро равно 2a. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC, где SC = 2a и OC = \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
По теореме Пифагора:
\[\begin{aligned}SO^2 + OC^2 = SC^2\\SO^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = (2a)^2\\SO^2 + \frac{2a^2}{4} = 4a^2\\SO^2 = 4a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{7a^2}{2}\\SO = a\sqrt{\frac{7}{2}}\\\end{aligned}\]Подставим в формулу площади:
\[\begin{aligned}\frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{\frac{7}{2}} = 2\sqrt{7}\\a^2 \cdot \frac{\sqrt{14}}{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{7}\\a^2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = 2\sqrt{7}\\a^2 = 4\\a = 2\end{aligned}\]Итак, сторона основания a = 2 см.
-
Шаг 2: Найдем боковое ребро.
Боковое ребро равно 2a, следовательно, боковое ребро равно 2 ⋅ 2 = 4 см.
-
Шаг 3: Найдем радиус окружности, описанной около грани SCD.
SCD - равнобедренный треугольник со сторонами SC = SD = 4 см и CD = 2 см.
Для нахождения радиуса описанной окружности можно использовать формулу:
\[R = \frac{abc}{4S}\]Где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь.
Найдем площадь треугольника SCD. Высота SH, проведенная к CD, является также медианой.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SHC, где SC = 4 см и HC = 1 см.
По теореме Пифагора:
\[\begin{aligned}SH^2 + HC^2 = SC^2\\SH^2 + 1^2 = 4^2\\SH^2 = 16 - 1 = 15\\SH = \sqrt{15}\\\end{aligned}\]Площадь треугольника SCD равна:
\[S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{15} = \sqrt{15}\]Теперь найдем радиус описанной окружности:
\[\begin{aligned}R = \frac{4 \cdot 4 \cdot 2}{4\sqrt{15}} = \frac{32}{4\sqrt{15}} = \frac{8}{\sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{15}}{15}\\\end{aligned}\]Получается R = 8√15 / 15 ≈ 2.065 см. Округлим до целого числа: R ≈ 2 см
Ответ: 2 см
