В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Решение:

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды используется формула \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть сторона основания равна \( a \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. Или, что проще, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Высота \( h = 3 \), боковое ребро \( l = 10 \).

Найдем половину диагонали основания \( \frac{d}{2} \) по теореме Пифагора:

\[ \left( \frac{d}{2} \right)^2 + h^2 = l^2 \]

\[ \left( \frac{d}{2} \right)^2 + 3^2 = 10^2 \]

\[ \left( \frac{d}{2} \right)^2 + 9 = 100 \]

\[ \left( \frac{d}{2} \right)^2 = 100 - 9 = 91 \]

\[ \frac{d}{2} = \sqrt{91} \]

Диагональ основания \( d = 2\sqrt{91} \).

Так как диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \), то:

\[ a\sqrt{2} = 2\sqrt{91} \]

\[ a = \frac{2\sqrt{91}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{\frac{91}{2}} \]

Найдем площадь основания \( S_{осн} = a^2 \):

\[ S_{осн} = \left( 2\sqrt{\frac{91}{2}} \right)^2 = 4 \cdot \frac{91}{2} = 2 \cdot 91 = 182 \]

Теперь найдем объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 182 \cdot 3 \]

\[ V = 182 \]

Ответ: 182