В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AC₁ = 2BC. Найдите угол между диагоналями BD₁ и CA₁. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Пусть BC = a. Тогда AC₁ = 2a.
• В прямоугольном треугольнике ACC₁: AC₁² = AC² + CC₁². Так как AC = √2 * a, то (2a)² = (√2 * a)² + CC₁².
• CC₁² = 4a² - 2a² = 2a². Следовательно, CC₁ = a√2.
• Теперь рассмотрим диагонали BD₁ и CA₁. Пусть O — точка пересечения AC и BD.
• Найдем длины диагоналей. BD₁² = BD² + DD₁² = 2a² + 2a² = 4a². BD₁ = 2a. CA₁² = CA² + AA₁² = 2a² + 2a² = 4a². CA₁ = 2a.
• Пусть угол между BD₁ и CA₁ равен φ. Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей (BO и AO) и отрезком, соединяющим их концы.
• BO = a, AO = a. Пусть этот отрезок равен x. Тогда x² = a² + a² - 2a * a * cos(90°) = 2a². x = a√2.
• Применим теорему косинусов к треугольнику, образованному диагоналями BD₁ и CA₁: (2a)² = (2a)² + (a√2)² - 2 * 2a * a√2 * cos(φ).
• 4a² = 4a² + 2a² - 4a²√2 * cos(φ).
• 2a² = 4a²√2 * cos(φ).
• cos(φ) = 2a² / (4a²√2) = 1 / (2√2) = √2 / 4.
• φ = arccos(√2 / 4) ≈ 69.3°.

Ответ: 69