В ПРАВИЛЬНОЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОЙ ПРИЗМЕ ABCDA₁B₁C₁D₁ ИЗВЕСТНО, ЧТО АС₁ = 2BC. НАЙДИТЕ УГОЛ МЕЖДУ ДИАГОНАЛЯМИ BD₁ И СА₁. ОТВЕТ ДАЙТЕ В ГРАДУСАХ.

Привет! Давай вместе решим эту задачу по геометрии.

Решение:

1. Введем обозначения:

   Пусть сторона основания призмы равна \( a \), то есть \( BC = a \). Тогда, по условию, диагональ \( AC_1 = 2a \).

2. Найдем высоту призмы:

   Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ACC_1 \). По теореме Пифагора: \[ AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 \] Так как \( AC = a\sqrt{2} \) (диагональ квадрата) и \( AC_1 = 2a \), то: \[ (2a)^2 = (a\sqrt{2})^2 + CC_1^2 \] \[ 4a^2 = 2a^2 + CC_1^2 \] \[ CC_1^2 = 2a^2 \] \[ CC_1 = a\sqrt{2} \] Таким образом, высота призмы равна \( a\sqrt{2} \).

3. Координатный метод:

   Введем систему координат с началом в точке \( A \), ось \( x \) направим вдоль \( AB \), ось \( y \) вдоль \( AD \), ось \( z \) вдоль \( AA_1 \). Тогда координаты точек будут: \( B(a, 0, 0), D_1(0, a, a\sqrt{2}), C_1(a, a, a\sqrt{2}), A(0, 0, 0) \) \( D(0, a, 0), C(a, a, 0) \)

4. Найдем координаты векторов:

   \[ \vec{BD_1} = D_1 - B = (0, a, a\sqrt{2}) - (a, 0, 0) = (-a, a, a\sqrt{2}) \] \[ \vec{CA_1} = A_1 - C = (0, 0, a\sqrt{2}) - (a, a, 0) = (-a, -a, a\sqrt{2}) \]

5. Найдем косинус угла между векторами:

   Косинус угла между векторами \( \vec{BD_1} \) и \( \vec{CA_1} \) равен: \[ \cos{\phi} = \frac{\vec{BD_1} \cdot \vec{CA_1}}{|\vec{BD_1}| \cdot |\vec{CA_1}|} \] Найдем скалярное произведение векторов: \[ \vec{BD_1} \cdot \vec{CA_1} = (-a)(-a) + (a)(-a) + (a\sqrt{2})(a\sqrt{2}) = a^2 - a^2 + 2a^2 = 2a^2 \] Найдем модули векторов: \[ |\vec{BD_1}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] \[ |\vec{CA_1}| = \sqrt{(-a)^2 + (-a)^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] Тогда: \[ \cos{\phi} = \frac{2a^2}{2a \cdot 2a} = \frac{2a^2}{4a^2} = \frac{1}{2} \]

6. Найдем угол:

   \( \phi = \arccos{\frac{1}{2}} = 60^\circ \)

У тебя отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты сможешь решить любые задачи!