5.В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 4 см, стороны оснований 8 см и 2 см. Найти полную поверхность.

5. Рассмотрим правильную четырехугольную усеченную пирамиду. Пусть $$a$$ - сторона большего основания, $$b$$ - сторона меньшего основания, $$h$$ - высота пирамиды.

Дано: $$h = 4 \text{ см}$$, $$a = 8 \text{ см}$$, $$b = 2 \text{ см}$$.

Необходимо найти полную поверхность $$S_\text{полн}$$.

Площадь нижнего основания: $$S_\text{н} = a^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2$$

Площадь верхнего основания: $$S_\text{в} = b^2 = 2^2 = 4 \text{ см}^2$$

Апофема боковой грани $$a_\text{бок} = \sqrt{h^2 + (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{8-2}{2})^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$

Площадь боковой грани: $$S_\text{бок.гр.} = \frac{a+b}{2} \cdot a_\text{бок} = \frac{8+2}{2} \cdot 5 = 5 \cdot 5 = 25 \text{ см}^2$$

Площадь боковой поверхности: $$S_\text{бок} = 4 \cdot S_\text{бок.гр.} = 4 \cdot 25 = 100 \text{ см}^2$$

Полная поверхность: $$S_\text{полн} = S_\text{н} + S_\text{в} + S_\text{бок} = 64 + 4 + 100 = 168 \text{ см}^2$$

Ответ: $$168 \text{ см}^2$$