В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M через середину ребра MD, вершину B и параллельно AC проходит плоскость. Найдите отношение, в котором эта плоскость делит ребро MC, считая от вершины M.

Обозначим через E середину ребра MD, а через P — точку пересечения данной плоскости с ребром MC.

Так как плоскость проходит через B и параллельна AC, её пересечение с плоскостью основания проходит через B параллельно AC.

Используем векторные координаты: пусть A — начало координат, \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf d\), \(\overrightarrow{AM}=\mathbf m\). Тогда \(C=\mathbf b+\mathbf d\), а \(E=\frac12(\mathbf m+\mathbf d)\).

Пусть \(P=M+t(C-M)\). Приравнивая координаты точки P в плоскости, проходящей через E и B параллельно AC, получаем \(t=\frac23\).

Следовательно, \(MP=\frac23MC\), а \(PC=\frac13MC\).

Ответ: \(MP:PC=2:1\).