В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SA равно 14, сторона основания равна $$10\sqrt{2}$$. Найдите объём пирамиды.

Для решения этой задачи, нам потребуется найти высоту пирамиды. Так как пирамида правильная, основанием является квадрат, а вершина проецируется в центр квадрата.

1. Найдем диагональ квадрата в основании:

$$d = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot 2 = 20$$

2. Найдем половину диагонали, которая является проекцией бокового ребра на плоскость основания:

$$r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (SA), высотой пирамиды (SO) и половиной диагонали основания (AO). По теореме Пифагора, найдем высоту SO:

$$SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{14^2 - 10^2} = \sqrt{196 - 100} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$$

4. Теперь, когда мы знаем высоту пирамиды, мы можем найти её объём. Площадь основания (квадрата) равна:

$$S_{осн} = a^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200$$

5. Объём пирамиды равен:

$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 200 \cdot 4\sqrt{6} = \frac{800\sqrt{6}}{3}$$

Ответ: $$\frac{800\sqrt{6}}{3}$$