Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика256 В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна m, а плоский угол при вершине равен с. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро пирамиды; в) угол между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом реб-ре пирамиды.
Ответ:
Привет! Задание интересное, давай вместе разберемся с этой пирамидой!
Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах правильной четырехугольной пирамиды и тригонометрии. Обозначим сторону основания пирамиды как m, а плоский угол при вершине как α.
a) Высота пирамиды
Пусть S - вершина пирамиды, O - центр основания (квадрата), тогда SO - высота пирамиды. Рассмотрим треугольник ASB, где A и B - соседние вершины основания. Угол ASB равен α. Так как пирамида правильная, то AS = BS. Высота SH в треугольнике ASB является медианой и биссектрисой. Тогда угол ASH = α/2.
AH = m/2 (половина стороны основания).
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ASH. Выразим SH через известные величины:
\[SH = AH \cdot \cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{m}{2} \cot(\frac{\alpha}{2})\]Так как O - центр квадрата ABCD, то AO = m\(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. По теореме Пифагора:
\[SO = \sqrt{SA^2 - AO^2}\]Нам нужно выразить SA через известные величины. Из треугольника ASH:
\[SA = \frac{AH}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{m}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\]Тогда:
\[SO = \sqrt{\left(\frac{m}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 - \left(\frac{m\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{m}{2} \sqrt{\frac{1}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - 2}\]б) Боковое ребро пирамиды
Боковое ребро пирамиды - это отрезок SA. Мы его уже выразили выше:
\[SA = \frac{m}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\]в) Угол между боковой гранью и плоскостью основания
Угол между боковой гранью и плоскостью основания - это угол между высотой боковой грани (например, SH) и ее проекцией на плоскость основания (отрезок OH).
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOH. Угол SHO - искомый угол.
\[\tan(\angle SHO) = \frac{SO}{OH}\]OH = m/2 (половина стороны основания).
Тогда:
\[\tan(\angle SHO) = \frac{\frac{m}{2} \sqrt{\frac{1}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - 2}}{\frac{m}{2}} = \sqrt{\frac{1}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - 2}\] \[\angle SHO = \arctan\left(\sqrt{\frac{1}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - 2}\right)\]г) Двугранный угол при боковом ребре пирамиды
Двугранный угол при боковом ребре пирамиды - это угол между двумя боковыми гранями, сходящимися на этом ребре. Для нахождения этого угла можно воспользоваться теоремой косинусов для трехгранного угла.
Обозначим этот угол как β. Тогда:
\[\cos(\beta) = \frac{\cos(\alpha) - \cos^2(\angle BSA)}{\sin^2(\angle BSA)}\]В нашем случае угол BSA = α.
Тогда:
\[\cos(\beta) = \frac{\cos(\alpha) - \cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}\] \[\beta = \arccos\left(\frac{\cos(\alpha) - \cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}\right)\]Ответ: Высота пирамиды: \(\frac{m}{2} \sqrt{\frac{1}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - 2}\); Боковое ребро пирамиды: \(\frac{m}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\); Угол между боковой гранью и плоскостью основания: \(\arctan\left(\sqrt{\frac{1}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - 2}\right)\); Двугранный угол при боковом ребре пирамиды: \(\arccos\left(\frac{\cos(\alpha) - \cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}\right)\)
Проверка за 10 секунд: Убедись, что формулы содержат только заданные переменные (m и α) и что тригонометрические функции соответствуют углам в пирамиде.
Доп. профит: Запомни, что правильная пирамида обладает симметрией, что упрощает нахождение углов и высот. Используй это для быстрой проверки своих ответов!
