33. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что D1B=2АВ. Найдите угол между диагоналями BD1 и CA1. Ответ дайте в градусах.

Пусть сторона квадрата основания равна a. Тогда D1B = 2a. Рассмотрим прямоугольный треугольник D1DB. В нем DB = a√2 (диагональ квадрата). Тогда D1D = \sqrt{D1B^2 - DB^2} = \sqrt{(2a)^2 - (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{4a^2 - 2a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. Значит, D1D = DB, следовательно, \angle DBD1 = 45^{\circ}. CA1 = \sqrt{AA1^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{2a^2 + 2a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a. Значит, CA1 = D1B. Угол между диагоналями BD1 и CA1 равен 90 градусам, так как призма обладает симметрией.