#65 В правильной четырёхугольной призме АВСCDA, B, C, D, известно, что BD₁ = 2AD. Найдите угол между диагоналями DB₁ и СА1. Ответ дайте в градусах.

Решение #65

В правильной четырехугольной призме основание - квадрат. Пусть сторона основания равна a, тогда AD = a.

По условию, BD₁ = 2AD = 2a.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DD₁B. В нем:

\[BD^2 + DD_1^2 = BD_1^2\]

Так как BD = a\(\sqrt{2}\) (диагональ квадрата) и BD₁ = 2a, то:

\[(a\sqrt{2})^2 + DD_1^2 = (2a)^2\]

\[2a^2 + DD_1^2 = 4a^2\]

\[DD_1^2 = 2a^2\]

\[DD_1 = a\sqrt{2}\]

Так как DD₁ = AA₁ = a\(\sqrt{2}\), то боковая грань также является квадратом.

В правильной четырехугольной призме угол между диагоналями DB₁ и CA₁ равен 90 градусам, так как они лежат в параллельных плоскостях и являются диагоналями квадратов.

Ответ: 90

Проверка за 10 секунд: Убедись, что при таком угле диагонали действительно перпендикулярны, проверив свойства правильной призмы.

Редфлаг: Если в задаче есть условие соотношения сторон, всегда начинай с обозначения этих сторон и используй теорему Пифагора для нахождения связей между ними.