В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) n = 3, a = 10 см, h = 15 см; б) n = 4, a = 12 дм, h = 8 дм; в) n = 6, a = 23 см, h = 5 дм; г) n = 5, a = 0,4 м, h = 10 см.

Решение:

Площадь боковой поверхности призмы (S_бок.) равна произведению периметра основания (P) на высоту (h): S_бок. = P \(\cdot\) h.

Периметр правильного n-угольника вычисляется по формуле: P = n \(\cdot\) a, где n - число сторон, а - длина стороны.

Площадь полной поверхности призмы (S_полн.) равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания (S_осн.): S_полн. = S_бок. + 2 \(\cdot\) S_осн..

Площадь правильного n-угольника вычисляется по формуле: S_осн. = \(\frac{1}{4}na^2 \text{ctg}\left(\frac{\pi}{n}\right)\).

а) n = 3, a = 10 см, h = 15 см

• Периметр основания: P = 3 \(\cdot\) 10 см = 30 см.
• Площадь боковой поверхности: S_бок. = 30 см \(\cdot\) 15 см = 450 см².
• Площадь основания (равносторонний треугольник): S_осн. = \(\frac{1}{4} \cdot 3 \cdot (10 \text{ см})^2 \text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right)\) = \(\frac{75}{\sqrt{3}}\)=\(\frac{75\sqrt{3}}{3}\)=25\(\sqrt{3}\)\) см².
• Площадь полной поверхности: S_полн. = 450 см² + 2 \(\cdot\) 25\(\sqrt{3}\) см² = 450 + 50\(\sqrt{3}\) см².

б) n = 4, a = 12 дм, h = 8 дм

• Периметр основания: P = 4 \(\cdot\) 12 дм = 48 дм.
• Площадь боковой поверхности: S_бок. = 48 дм \(\cdot\) 8 дм = 384 дм².
• Площадь основания (квадрат): S_осн. = a² = (12 дм)² = 144 дм².
• Площадь полной поверхности: S_полн. = 384 дм² + 2 \(\cdot\) 144 дм² = 384 + 288 = 672 дм².

в) n = 6, a = 23 см, h = 5 дм

• Переведем все в см: h = 5 дм = 50 см.
• Периметр основания: P = 6 \(\cdot\) 23 см = 138 см.
• Площадь боковой поверхности: S_бок. = 138 см \(\cdot\) 50 см = 6900 см².
• Площадь основания (правильный шестиугольник): S_осн. = \(\frac{1}{4} \cdot 6 \cdot (23 \text{ см})^2 \text{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right)\) = \(\frac{3}{2} \cdot 529 \cdot \sqrt{3}\) = \(\frac{1587\sqrt{3}}{2}\) см².
• Площадь полной поверхности: S_полн. = 6900 см² + 2 \(\cdot\) \(\frac{1587\sqrt{3}}{2}\) см² = 6900 + 1587\(\sqrt{3}\) см².

г) n = 5, a = 0,4 м, h = 10 см

• Переведем все в см: a = 0,4 м = 40 см.
• Периметр основания: P = 5 \(\cdot\) 40 см = 200 см.
• Площадь боковой поверхности: S_бок. = 200 см \(\cdot\) 10 см = 2000 см².
• Площадь основания (правильный пятиугольник): S_осн. = \(\frac{1}{4} \cdot 5 \cdot (40 \text{ см})^2 \text{ctg}\left(\frac{\pi}{5}\right)\) = \(\frac{5}{4} \cdot 1600 \cdot \text{ctg}(36^\circ)\) = 2000 \(\cdot\) \(\text{ctg}(36^\circ)\) см².
• Площадь полной поверхности: S_полн. = 2000 см² + 2 \(\cdot\) 2000 \(\text{ctg}(36^\circ)\) см² = 2000 + 4000 \(\text{ctg}(36^\circ)\) см².

Ответ: а) S_бок. = 450 см², S_полн. = 450 + 50\(\sqrt{3}\) см²; б) S_бок. = 384 дм², S_полн. = 672 дм²; в) S_бок. = 6900 см², S_полн. = 6900 + 1587\(\sqrt{3}\) см²; г) S_бок. = 2000 см², S_полн. = 2000 + 4000 \(\text{ctg}(36^\circ)\) см².