229 В правильной п-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) п=3, а=10 см, h=15 см; б) п=4, а=12 дм, h=8 дм; в) п = 6, а=23 см, h=5 дм; г) п = 5, а = 0,4 м, h=10 см.

Рассмотрим правильную n-угольную призму, сторона основания равна a, высота равна h. Необходимо вычислить площади боковой и полной поверхности призмы для различных значений n, a, h.

Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле: $$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$$, где $$P_{осн}$$ - периметр основания призмы, h - высота призмы.

Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле: $$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$$, где $$S_{осн}$$ - площадь основания призмы.

а) n=3, a=10 см, h=15 см

• Основание - правильный треугольник, периметр основания: $$P_{осн} = 3a = 3 \cdot 10 = 30 \text{ см}$$
• Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 30 \cdot 15 = 450 \text{ см}^2$$
• Площадь основания: $$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4} = 25 \sqrt{3} \approx 25 \cdot 1.732 = 43.3 \text{ см}^2$$
• Площадь полной поверхности: $$S_{полн} = 450 + 2 \cdot 43.3 = 450 + 86.6 = 536.6 \text{ см}^2$$

б) n=4, a=12 дм, h=8 дм

• Основание - квадрат, периметр основания: $$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 12 = 48 \text{ дм}$$
• Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 48 \cdot 8 = 384 \text{ дм}^2$$
• Площадь основания: $$S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \text{ дм}^2$$
• Площадь полной поверхности: $$S_{полн} = 384 + 2 \cdot 144 = 384 + 288 = 672 \text{ дм}^2$$

в) n = 6, a=23 см, h=5 дм = 50 см

• Основание - правильный шестиугольник, периметр основания: $$P_{осн} = 6a = 6 \cdot 23 = 138 \text{ см}$$
• Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 138 \cdot 50 = 6900 \text{ см}^2$$
• Площадь основания: $$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 23^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 529 = \frac{1587 \sqrt{3}}{2} \approx \frac{1587 \cdot 1.732}{2} = \frac{2748.7}{2} = 1374.35 \text{ см}^2$$
• Площадь полной поверхности: $$S_{полн} = 6900 + 2 \cdot 1374.35 = 6900 + 2748.7 = 9648.7 \text{ см}^2$$

г) n = 5, a = 0,4 м, h=10 см = 0,1 м

• Основание - правильный пятиугольник, периметр основания: $$P_{осн} = 5a = 5 \cdot 0.4 = 2 \text{ м}$$
• Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 2 \cdot 0.1 = 0.2 \text{ м}^2$$
• Площадь основания: $$S_{осн} = \frac{5a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{5})} = \frac{5 \cdot 0.4^2}{4 \tan(36^\circ)} = \frac{5 \cdot 0.16}{4 \cdot 0.7265} = \frac{0.8}{2.906} \approx 0.275 \text{ м}^2$$
• Площадь полной поверхности: $$S_{полн} = 0.2 + 2 \cdot 0.275 = 0.2 + 0.55 = 0.75 \text{ м}^2$$

Ответ: а) $$S_{бок} = 450 \text{ см}^2$$, $$S_{полн} = 536.6 \text{ см}^2$$; б) $$S_{бок} = 384 \text{ дм}^2$$, $$S_{полн} = 672 \text{ дм}^2$$; в) $$S_{бок} = 6900 \text{ см}^2$$, $$S_{полн} = 9648.7 \text{ см}^2$$; г) $$S_{бок} = 0.2 \text{ м}^2$$, $$S_{полн} = 0.75 \text{ м}^2$$