В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S через середины рёбер SA и SD и вершину C проведена плоскость. Найдите отношение, в котором эта плоскость делит ребро SF, считая от вершины S.

Обозначим через M и N середины рёбер SA и SD, а через X — точку пересечения плоскости MCN с ребром SF.

Введём параметр: пусть \(SX=t\cdot SF\), то есть \(X\) делит ребро SF в доле \(t\), считая от вершины S.

Рассмотрим плоскость основания. Для правильного шестиугольника выполняется векторное равенство \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}\), поэтому при разложении точки X по точкам M, N и C получаем условие принадлежности плоскости:

\[t=\frac{1-t}{2}.\]

Решаем уравнение:

\[2t=1-t,\qquad 3t=1,\qquad t=\frac13.\]

Следовательно, \(SX=\frac13SF\), а \(XF=\frac23SF\).

Ответ: 1:2.