В правильной треугольной пирамиде боковое ребро с плоскостью основания образует угол 45°. Высота пирамиды равна 8 см. Вычисли сторону основания пирамиды.

Решение:

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Высота пирамиды, апофема и радиус вписанной окружности основания образуют прямоугольный треугольник.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (\( H \)), апофемой (\( a_p \)) и радиусом вписанной окружности основания (\( r \)). Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, это означает, что угол между высотой и проекцией бокового ребра на основание также равен 45° (так как проекция бокового ребра есть радиус описанной окружности основания, но здесь дана информация про угол между боковым ребром и плоскостью основания, что эквивалентно углу между высотой и радиусом описанной окружности основания). Однако, в условии указан угол между боковым ребром и плоскостью основания, и если пирамида правильная, то проекцией бокового ребра является радиус описанной окружности основания. Если угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, то это также угол между боковым ребром и радиусом описанной окружности основания. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой (8 см), радиусом описанной окружности основания (R) и боковым ребром (l), угол между боковым ребром и R равен 45°. Следовательно, этот треугольник является равнобедренным прямоугольным, и \( H = R \).
2. Высота пирамиды \( H = 8 \) см.
3. Так как \( H = R \), то радиус описанной окружности основания \( R = 8 \) см.
4. Для правильного треугольника радиус описанной окружности \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \), где \( a \) — сторона основания.
5. Выразим сторону основания: \( a = R \cdot \sqrt{3} \).
6. Подставим значение \( R \): \( a = 8 \cdot \sqrt{3} \) см.

Ответ: Сторона основания равна 8√3 см.