В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 10. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AE = LM = 4. а) Докажите, что объём пирамиды LADE составляет 4/15 от объёма пирамиды MABC. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

а) Обозначим через O центр основания. В равностороннем треугольнике со стороной 6 расстояние от вершины до центра равно \(2\sqrt{3}\). Поэтому высота пирамиды \(MO=\sqrt{10^2-(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{22}\).

Так как \(AD/AC=AE/AB=4/6=2/3\), площадь треугольника ADE составляет \(4/9\) площади ABC. Точка L делит ребро AM так, что \(AL/AM=(10-4)/10=3/5\). Высота пирамиды LADE к плоскости основания ADE равна \(3/5\) высоты MABC, поскольку L лежит на AM, а A принадлежит плоскости основания.

Следовательно, отношение объёмов равно произведению отношений площадей оснований и высот: \(V_{LADE}/V_{MABC}=(4/9)(3/5)=4/15\).

б) Введём координаты \(A=(0,0,0)\), \(B=(6,0,0)\), \(C=(3,3\sqrt{3},0)\). Вершина M находится над центром основания, поэтому \(M=(3,\sqrt{3},2\sqrt{22})\). Тогда \(E=(4,0,0)\), \(D=(2,2\sqrt{3},0)\), \(L=(9/5,3\sqrt{3}/5,6\sqrt{22}/5)\).

Площадь сечения EDL равна половине модуля векторного произведения \(\overrightarrow{ED}\) и \(\overrightarrow{EL}\). Его компоненты: \((24\sqrt{66}/5,\ 0,\ 96\sqrt{3}/25)\). Поэтому

\(S_{EDL}=\frac12\sqrt{(24\sqrt{66}/5)^2+(96\sqrt{3}/25)^2}=\frac{12\sqrt{231}}{5}\).

Ответ: а) \(V_{LADE}=\frac{4}{15}V_{MABC}\); б) \(S_{EDL}=\frac{12\sqrt{231}}{5}\).