В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 8. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = LM = 2. а) Докажите, что объём пирамиды LADE составляет 1/3 от объёма пирамиды MABC. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

а) Имеем \(AD=AC-CD=6-2=4\) и \(AE=AB-BE=6-2=4\), поэтому \(AD/AC=AE/AB=2/3\). Площадь ADE равна \(4/9\) площади ABC. Также \(AL/AM=(8-2)/8=3/4\), так что высота LADE составляет \(3/4\) высоты MABC.

Отношение объёмов равно \((4/9)(3/4)=1/3\). Следовательно, \(V_{LADE}=\frac13V_{MABC}\).

б) Возьмём координаты \(A=(0,0,0)\), \(B=(6,0,0)\), \(C=(3,3\sqrt{3},0)\). Высота пирамиды равна \(MO=\sqrt{8^2-(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{13}\), поэтому \(M=(3,\sqrt{3},2\sqrt{13})\). Получаем \(E=(4,0,0)\), \(D=(2,2\sqrt{3},0)\), \(L=(9/4,3\sqrt{3}/4,3\sqrt{13}/2)\).

Векторное произведение \(\overrightarrow{ED}\times\overrightarrow{EL}\) имеет компоненты \((3\sqrt{39},\ 0,\ 9\sqrt{3}/2)\). Тогда площадь треугольника EDL равна \(\frac12\sqrt{(3\sqrt{39})^2+(9\sqrt{3}/2)^2}=\frac{17\sqrt{3}}{4}\).

Ответ: а) \(V_{LADE}=\frac13V_{MABC}\); б) \(S_{EDL}=\frac{17\sqrt{3}}{4}\).