в правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М найдите угол между боковыми гранями, если все ребра равны 2.

Давай разберем эту задачу по геометрии!

Дано:

• MABC - правильная треугольная пирамида
• Все ребра равны 2

Найти:

Угол между боковыми гранями

Решение:

1. В правильной треугольной пирамиде все боковые грани - равносторонние треугольники.

2. Угол между боковыми гранями - это двугранный угол, который можно найти, рассмотрев линейный угол, образованный перпендикулярами, опущенными из одной точки на ребро основания.

3. Пусть D - середина ребра BC. Тогда MD перпендикулярно BC и AD перпендикулярно BC (так как треугольники MBC и ABC равносторонние).

4. Угол MDA - линейный угол двугранного угла между гранями MBC и ABC.

5. Рассмотрим треугольник MAD. MD = AD, так как являются высотами равносторонних треугольников со стороной 2. Следовательно, MD = AD = \(\frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)

6. Треугольник MAD - равнобедренный. Пусть O - середина AD. Тогда MO перпендикулярно AD.

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOM. AO = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). MA = 2. По теореме Пифагора найдем MO:

\[MO = \sqrt{MA^2 - AO^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{4 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}\]

8. Рассмотрим треугольник MOD. MD = \(\sqrt{3}\). OD = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). По теореме Пифагора найдем MO:

\[MO = \sqrt{MD^2 - OD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{3 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}\]

9. Значит, угол MDA = \(\alpha\). Найдем косинус угла \(\alpha\) по теореме косинусов в треугольнике MAD:

\[MA^2 = MD^2 + AD^2 - 2 \cdot MD \cdot AD \cdot cos(\alpha)\]

\[4 = 3 + 3 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot cos(\alpha)\]

\[4 = 6 - 6 \cdot cos(\alpha)\]

\[6 \cdot cos(\alpha) = 2\]

\[cos(\alpha) = \frac{1}{3}\]

\[\alpha = arccos(\frac{1}{3})\]

10. Теперь найдем угол между боковыми гранями. Рассмотрим пирамиду, где все ребра равны, а именно тетраэдр. Так как все ребра равны 2, угол между гранями тетраэдра можно вычислить по формуле:

\[\cos(\phi) = \frac{1}{3}\]

Где \(\phi\) - это угол между боковыми гранями.

Таким образом:

\[\phi = arccos(\frac{1}{3})\]

Ответ: \(arccos(\frac{1}{3})\)