Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
254 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.
Ответ:
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна \( a \), высота равна \( H \). Найдите:
а) боковое ребро пирамиды;
б) плоский угол при вершине пирамиды;
в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды;
г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды;
д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.
Ответ: Решение ниже.
Краткое пояснение: Здесь нужно вспомнить свойства правильной треугольной пирамиды и применить знания геометрии.
Решение:
а) Боковое ребро пирамиды:
- Пусть \( S \) - вершина пирамиды, \( O \) - центр основания (правильного треугольника), \( A \) - вершина основания.
- \( SO = H \) (высота пирамиды), \( AO = \frac{a\sqrt{3}}{3} \) (радиус описанной окружности основания).
- \( SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}} \)
б) Плоский угол при вершине пирамиды:
- Пусть \( B \) - еще одна вершина основания. Угол \( \angle ASB \) - плоский угол при вершине.
- \( AM \) - медиана и высота в равнобедренном треугольнике \( ASB \).
- \( AM = \sqrt{SA^2 - \frac{AB^2}{4}} = \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{12}} \)
- \( \sin(\frac{\angle ASB}{2}) = \frac{AB/2}{SA} = \frac{a/2}{\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}} \)
- \( \angle ASB = 2 \arcsin(\frac{a}{2\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}) \)
в) Угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды:
- Это угол \( \angle SAO \).
- \( \tan(\angle SAO) = \frac{SO}{AO} = \frac{H}{\frac{a\sqrt{3}}{3}} = \frac{3H}{a\sqrt{3}} \)
- \( \angle SAO = \arctan(\frac{3H}{a\sqrt{3}}) \)
г) Угол между боковой гранью и основанием пирамиды:
- Пусть \( M \) - середина стороны \( AB \). Угол \( \angle SMO \) - угол между боковой гранью и основанием.
- \( MO = \frac{a}{2\sqrt{3}} \) (расстояние от центра до стороны в правильном треугольнике).
- \( \tan(\angle SMO) = \frac{SO}{MO} = \frac{H}{\frac{a}{2\sqrt{3}}} = \frac{2H\sqrt{3}}{a} \)
- \( \angle SMO = \arctan(\frac{2H\sqrt{3}}{a}) \)
д) Двугранный угол при боковом ребре пирамиды:
- Проведем перпендикуляры из точки \( A \) к ребру \( SB \), пусть это точка \( K \). Угол \( \angle AKA' \) - двугранный угол (где \( A' \) - аналогичная точка на ребре \( SC \)).
- В треугольнике \( ASB \): \( AK = \frac{2 \cdot Area}{SB} = \frac{a \cdot H}{\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}} \)
- В треугольнике \( AKA' \): \( \sin(\frac{\angle AKA'}{2}) = \frac{a/2}{AK} = \frac{a/2}{\frac{a \cdot H}{\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}} = \frac{\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}{2H} \)
- \( \angle AKA' = 2 \arcsin(\frac{\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}{2H}) \)
Ответ: а) \( \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}} \); б) \( 2 \arcsin(\frac{a}{2\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}) \); в) \( \arctan(\frac{3H}{a\sqrt{3}}}) \); г) \( \arctan(\frac{2H\sqrt{3}}{a}) \); д) \( 2 \arcsin(\frac{\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}{2H}) \)
Ответ: а) \( \sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}} \); б) \( 2 \arcsin(\frac{a}{2\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}) \); в) \( \arctan(\frac{3H}{a\sqrt{3}}}) \); г) \( \arctan(\frac{2H\sqrt{3}}{a}) \); д) \( 2 \arcsin(\frac{\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{3}}}{2H}) \)
Математический гений
Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс
Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей
